1.CSIR NET MATHS 2020-JUNE PART B

 

CSIR NET MATHEMATICS 2020-JUNE

HELD ON 26TH-NOVEMBER 

PART-B

1. $ f:N\rightarrow N $ be bounded function.which the following statement is NOT true?

 (A) $ {\lim}_{n \to \infty }\sup f(n) \in  N  $

(B)  $ \lim_{n \to \infty }\inf f(n) \in  N $

(C)$ \lim_{n \to \infty }\inf( f(n)+n) \in  N $

(D)$ \lim_{n \to \infty }\sup( f(n)+n) \notin  N $

Solution:

 

$ f:N\rightarrow N $ be bounded function

 

let assume $ f(n)=c \quad where \quad  \inf f \leq f(n) \leq \sup f  and c \in N $ 

[ f is said to be bounded if its range is  both bounded above and below. 

i.e f is bounded then $  \inf f \leq f(n) \leq \sup f $  for every $  x \in N $.]
 

let n=1 we get f(1)=c ,          $ 1 \in N $\

$ \implies n=2 $  we get f(2)=c          $ 2 \in N $

;    :        :            :            :

:    :        :            :            :

 

         n=n we get f(n)=c      $ n \in N $

the range of the function is = {  c,c,... ,c }
 

 (A) let   $ \lim_{n \to \infty }\sup f(n) \in  N $ 

 

$ \lim_{x \to \infty }\sup f(n) =\lim_{n \to \infty }\ c$      [ $\sup f(n)=c$ ,  by  above  range of   function]

$ =c \in N $         [$\lim_{n \to \infty }\ c=c$]  

 

 The A statement is  $  \lim_{n \to \infty }\sup f(n) \in  N $ 

 

 The A  statement is true

 

 

 (B) let   $ \lim_{n \to \infty }\inf f(n) \in  N $ 

 

$ \implies \lim_{x \to \infty }\inf f(n) =\lim_{n \to \infty }\ c$      [ $\inf f(n)=c$ ,  by  above  range of   function]

            $ =c \in N $         [$\lim_{n \to \infty }\ c=c$]  

 

 The B statement is  $  \lim_{n \to \infty }\inf f(n) \in  N $ 

 

 The B  statement is true

 

 

 (C) let   $ \lim_{n \to \infty }\inf ( f(n)+n) \in  N $ 

 

$ \lim_{n \to \infty }\inf ( f(n)+n)$

                     =$ \lim_{n \to \infty }\ c+n $     

                           

                     =$c+\infty$  

 

                    =$ \infty \in N $     [ $c+\infty=\infty $] 

                                        

The C statement  is $ \lim_{n \to \infty }\inf (f(n)+n) \in  N $ 

 

 

 The C  statement is true

 

 

(D) let   $ \lim_{n \to \infty }\sup ( f(n)+n) \notin  N $ 

 

$ \lim_{n \to \infty }\sup ( f(n)+n)$
 

                     =$ \lim_{n \to \infty }\ c+n $     

                 

                     =$c+\infty$  

 

                    =$ \infty \in N $     [ $c+\infty=\infty $] 

                                        

The C statement  is $ \lim_{n \to \infty }\inf (f(n)+n) \notin  N $ 

 

 

 The D  statement is  not true

 

Hence correct option  (D)let   $ \lim_{n \to \infty }\sup(f(n)+n) \notin  N $