4.CSIR NET MATHS 2020-JUNE PART B

 

CSIR NET MATHEMATICS 2020-JUNE

HELD ON 26TH-NOVEMBER 

PART-B

 

4.Let A be a  $ 2 \times 2 $  real matrix with $ \det A=1 $ and trace A=3.what is the value of trace $ A^2$

 

(A)2

(B)10

(C)9

(D)7

 

solution: 

CASE I 

Given Let A be a  $ 2 \times 2 $  real matrix with $ \det A=1 $ and trace A=3\\
To find trace $ A^2$\\

Matrix property 1.The sum of eigenvalue of a matrix is equal to the trace of matrix.product of the eigenvalue is equal to the  determinant of the matrix.  

Matrix Property 2.If $ \lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n} $ are the Eigenvalue of the matrix A, then $ A^m$ has Eigenvalue of $ \lambda_{1}^{m},\lambda_{2}^{m},\dots,\lambda_{n}^{m} $

Matrix Property 3. The Eigenvalue of a diagonal matrix are just the diagonal elements of the matrix.

 Let assume the matrix $ A=\begin{bmatrix}
a& 0\\
0 & b
\end{bmatrix} $    [given  $ 2 \times 2 $   Matrix ]

 
$A =\begin{bmatrix} a& 0\\  0 & b  \end{bmatrix} $

sum of diagonal elements =trace of A=3      [given   trace    A=3]

 $ \implies a+b=3 \dots \dots (1)$

$ \det A = \vert A \vert =1 $  [Given det A=1]

$ \vert A \vert $ =(ab-0.0)=1             [ A =$ \begin{bmatrix} a& b\\  c & d  \end{bmatrix} \implies \vert A\vert  =ad-bc $]

$ \vert A \vert  =ab=1 \dots \dots (2)$

 A =$ \begin{bmatrix} a& 0\\  0 & b  \end{bmatrix} $

The Eigenvalue Of Diagonal Matrix  A =a.b [by  Matrix  Property    3]

 Sum of eigenvalue of  A =a+b=3             [by equation 1]

 product of Eigenvalue of A =ab=1             [by equation 2]

 $\implies $ ab=1

 a(3-a)=1  [ a+b=3 $ \implies b=3-a]

$ 3a-a^2=1$          

$1-3a+a^2  =0$

$a^2-3a+1$=0 

a  =$ \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

a  = $ \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(1)(1)}}{2(1)}$         [a=1,b=-3,c=1]

a  =$\frac{ 3 \pm \sqrt{9-4}}{2} $

a  = $ \frac{ 3 \pm \sqrt{5}}{2} $

a  =$ \frac{ 3 \pm \sqrt{5}}{2} $

Equation 1 becomes 

a+b = 3

b  =3-a

b =$ 3-\frac{ 3 + \sqrt{5}}{2}$  [a  =$ \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2}$ ]

b =$ \frac{ 6-3 -\sqrt{5}}{2} $

b =$ \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2} $

(Or)

Equation 1 becomes
 

a+b = 3

 

b  =3-a

 

b =3-$ \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2}$         [a  =$ \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2}$ ]
 

b =$ \frac{ 6-3 + \sqrt{5}}{2} $

b =$ \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2} $

the  matrix    A = $ \begin{bmatrix}
a& 0\\
0 & b  \end{bmatrix}$ 

 

A = $ \begin{bmatrix}
 \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2}  & 0\\
0 & \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2}
\end{bmatrix}$             [$ a=\frac{ 3 + \sqrt{5}}{2} and b=\frac{ 3 - \sqrt{5}}{2}$ ] 

 

The Eigenvalue Of Diagonal Matrix   A  are $ \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2} and   \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2} $            [by   Matrix   Property    3]

 
The Eigenvalue Of Diagonal Matrix   A^2 are  $ \left(  \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2}\right)^2  and  \left(  \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2} \right)^2 $                         [by   Matrix    Property    2]

Trace \enspace  of   $ A^2$ = Sum  of  Eigenvalue  of $   A^2 $                     [by  Matrix    Property    1]

Trace  of $A^2 = \left(  \frac{ 3 + \sqrt{5}}{2}\right)^2  +  \left(  \frac{ 3 - \sqrt{5}}{2} \right)^2 $

 =$ \frac{ (3 + \sqrt{5})^2 }{2^2} +  \frac{ (  3 - \sqrt{5} )^2 }{2^2}$
            [ $ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab,$ and $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab $]
 

 =  $ \frac{ 9 + 5+6\sqrt{5}}{4} +  \frac{ 9 + 5-6\sqrt{5} }{4}  $

=  $ \frac{ 14+6\sqrt{5}+14-6\sqrt{5} }{4}  $

  =$   \frac{ 28}{4}  $

  Trace  of  $ A^2 $= 7

 

Hence Correct option (D) 7 

 

CASE -II

Let  assume the   Matrix   A =$ \begin{bmatrix}
 1  & 1\\
1 & 2  
\end{bmatrix}$                   [by  satisfied  given  condition det A=1   and  trace   A=3 ]

$A^2 = \begin{vmatrix}
 1  & 1\\
1 & 2  
\end{vmatrix} \times  \begin{vmatrix}
 1  & 1\\
1 & 2  
\end{vmatrix}$

 =$ \begin{bmatrix}
 1+1  & 1+2\\
1+2 & 1+4  
\end{bmatrix}$

$ A^2 = \begin{bmatrix}
 2  & 3\\
3 & 5  
\end{bmatrix}$

Trace   of  $ A^2 $= Sum  of  Diagonal  elements   of  $ A^2 $                     [by   Matrix  Property  1 ]
=5+2

Trace    of $ A^2$ = 7 

Hence Correct option (D) 7