2.CSIR NET MATHS 2020-JUNE PART B

 

CSIR NET MATHEMATICS 2020-JUNE

HELD ON 26TH-NOVEMBER 

PART-B

 

 

2.Let A and B  be $ 2\times 2 $  matrices.then which of the following is true?

 

(A) det(A+B)+det(A-B)=detA+detB

(B)det(A+B)+det(A-B)=2detA-2detB 

(C) det(A+B)+det(A-B)=2detA+2detB

(D)det(A+B)-det(A-B)=2detA-2detB  

 

Solution :

 

Given Let A and B be $ 2 \times 2 $ matrices

 

let we assume $ 2 \times 2 $ matrices then $ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 &2 \end{bmatrix} $ and $ B=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 &3 \end{bmatrix} $ 

 

A $=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 &2 \end{bmatrix}   $                                     B $=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 &3 \end{bmatrix} $ 

 

$ \vert A \vert =( 2-0) $     $ \vert B \vert =( 3-0) $     $[ A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \implies \vert A \vert = (ad-bc) ]$ 

 

$ \vert A \vert =2$  $ \vert B \vert=3 $

 

A+B $=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 &2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 &3 \end{bmatrix}$     A-B $=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 &2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 &3 \end{bmatrix} $

 

A+B $=\begin{bmatrix} 1+1 & 2+3 \\ 0+0 &2+3 \end{bmatrix} $       A-B $=\begin{bmatrix} 1-1 & 2-3 \\ 0-0 &2-3 \end{bmatrix}$

 

 A+B $=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 0 &5 \end{bmatrix} $          A-B $=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}$

$ \vert A+B \vert $= (10-0)         $ \vert A-B \vert$  = (0-0)

$  \vert A+B \vert $= 10         $ \vert A-B \vert$ =0  

option(A) det(A+B)+det(A-B)=detA+detB } 

   
det(A+B)+det(A-B)&=detA+detB 

$ \vert A+B \vert + \vert A-B \vert =\vert A \vert  + \vert B \vert $    $[detA=\vert A \vert ] $

 10+0 =2+3       [$\vert A+B \vert $=10 , $ \vert A-B \vert $=0, $ \vert A \vert $ =2, $\vert B \vert$=3 ]

 10 =5 

 10 $ \neq$  5

 

Option (A)is not true

 

 

option(B) det(A+B)+det(A-B)=2detA-2detB

   
det(A+B)+det(A-B)&=2detA-2detB

 $\vert A+B \vert + \vert A-B \vert =2 \vert A \vert  - 2 \vert B \vert$      [$detA=\vert A \vert $]

 10+0 =2(2)-2(3)             [$\vert A+B \vert=10 , \vert A-B \vert=0, \vert A \vert=2, \vert B \vert=3 $]

 10=4-6

 10=-2
 

 10  $ \neq  $-2

Option (B)is not true

 

 

option(C) det(A+B)+det(A-B)=2detA+2detB 

  
det(A+B)+det(A-B)&=2detA+2detB
 

$ \vert A+B \vert + \vert A-B \vert =2 \vert A \vert  + 2 \vert B \vert $         [$detA=\vert A \vert $]

 10+0 =2(2)+2(3)          [$\vert A+B \vert=10 , \vert A-B \vert=0, \vert A \vert=2, \vert B \vert=3 $]

 
 10=4+6

 10=10

Option (C)is  true 

  

option(D) det(A+B)-det(A-B)=2detA-2detB

 
det(A+B)-det(A-B)&=2detA-2detB 

 $ \vert A+B \vert - \vert A-B \vert =2 \vert A \vert  - 2 \vert B \vert  $         [$detA=\vert A \vert $]

 
 10-0  =2(2)-2(3)          [$ \vert A+B \vert=10 , \vert A-B \vert=0, \vert A \vert=2, \vert B \vert=3 $ ]

 10 =4-6 

 10 =-2 

 10$ \neq$  -2

Option (D)is  not true

 

 

Hence The Answer is Option(C)det(A+B)+det(A-B)=2detA+2detB